Théorie de la Parallaxe

Cet article donne tous les détails mathématiques nécessaires pour effectuer le calcul de la distance Terre-Soleil par la parallaxe de Mars, il suppose donc un bagage minimum en géométrie, et une maitrise de la notion de coordonnées équatoriales.

Formule complète de la parallaxe

Pour effectuer les calculs, on va utiliser des coordonnées basées sur les coordonnées équatoriales. Un point sera représenté soit par le triplet $(\alpha,\delta,r)$ correspondant à l’ascension droite, la déclinaison et la distance au centre de la Terre, soit en coordonnées rectangulaires par $(r \cos \alpha \cos \delta, r\sin \alpha \sin \delta, r\sin \delta)$ . On notera $D$ la distance de la Terre à Mars, et $R_T$ le rayon de la terre.

Soit $M=(\alpha_m,\delta_m,D)$ les coordonnées de Mars au moment de l’observation. On considère pour l’instant que ce sont les mêmes aux deux points d’observation, et que seule la superposition de photographies permet l’évaluation de la parallaxe $p$ . On utilisera la différence de coordonnées lors de la simulation de l’expérience.
Soient $O_1=(L_1,l_1)$ et $O_2=(L_2,l_2)$ les longitudes et latitudes des 2 points d’observation, et $\Theta$ le temps sidéral à Greenwich au moment de l’observation. Longitudes et latitudes peuvent être reliées aux coordonnées équatoriales par les relations $\delta = l$ pour la déclinaison et $\alpha = \Theta-L$ pour l’ascension droite. Pour s’en convaincre, considérer les coordonnées équatoriales du zénith du lieu.

Dans notre système de coordonnées sphériques, les coordonnées des 2 points d’observation sont donc:
$O_1=(\Theta-L_1,l_1,R_T)$ et $O_2=(\Theta-L_2,l_2,R_T)$

On va ensuite considérer le produit vectoriel $O_1M\wedge O_2M$ , et par définition de la parallaxe $p$ qui est l’angle entre les droite $O_1M$ et $O_2M$ , on a:
$|| O_1M\wedge O_2M || = ||O_1M||.||O_2M|| \sin p$

Tout d’abord, puisque $D$ est très supérieur à $R_T$ , on a
$||O_1M|| \simeq ||O_2M|| \simeq D$ .

Ensuite, notons $v_m$ le vecteur unitaire de coordonnées $(\alpha_m,\delta_m,1)$ , $v_1$ le vecteur unitaire de coordonnées $(\Theta-L_1,l_1,1)$ et $v_2$ le vecteur unitaire de coordonnées $(\Theta-L_2,l_2,1)$ . On a alors
$O_1M\wedge O_2M = (Dv_m-R_Tv1)\wedge(Dv_m-R_Tv2) = R_T^2(v_1\wedge v_2)+DR_Tv_m\wedge(v_1-v_2)$
Utilisant encore le fait que $D$ est très grand devant $R_T$ , on a
$O_1M\wedge O_2M \simeq DR_Tv_m\wedge(v_1-v_2)$
D’où le résultat final
$D^2\sin p \simeq DR_T||v_m\wedge(v_1-v_2)||$ .
ou encore
$D = \frac{R_T}{\sin p}||v_m\wedge(v_1-v_2)||$
Ce qui montre bien qu’en connaissant l’heure et les lieux d’observation, le rayon terrestre et la parallaxe, on peut obtenir la distance Terre-Mars.

Calcul de la distance Terre-Soleil

Pour déduire du calcul précédent la distance Terre-Soleil, on va utiliser la 3eme loi de Kepler et le fait qu’à l’opposition, la distance Mars-Soleil est la somme des distances Terre-Soleil et Terre-Mars.
Soit $D_t$ la distance Terre Soleil, et $D_m$ la distance Terre-Mars, $T_t$ la durée de l’année terrestre et $T_m$ la durée de l’année martienne. On a $\frac{T_t^2}{D_t^3} = \frac{T_m^2}{D_m^3}$ du fait de la 3eme loi de Kepler, et $D_m = D_t+D$ à l’opposition, soit encore

$D_t = D_m\frac{T^{2/3}_t}{T^{2/3}_m} = (D_t+D)\frac{T^{2/3}_t}{T^{2/3}_m}$
Finalement on a :
$D_t = \frac{D}{\frac{T^{2/3}_m}{T^{2/3}_t}-1}$

Exemple de calcul de la distance Terre-Mars

On va se placer à Paris et Cayenne, le 29 janvier 2010 (jour de l’opposition) à 0h TU, et utiliser le logiciel Cartes du Ciel pour simuler l’expérience.

Pour Paris : $L_1$ = 2° 25′ 58 » E et $l_1$ = 48° 52’54 » N

Coordonnées de Mars à Paris : Date RA: 8h55m29.25s DE:+22°03’23.7″
Local Sideral Time : 8h42m

Pour Cayenne : $L_2$ = 52° 19′ 49 » W et $l_2$ = 4° 56′ 05 » N
Mars vue de Cayenne :
Date RA: 8h55m30.01s DE:+22°03’31.2″
Local Sideral Time : 5h03m

Utilisant les différences entres les coordonnées de Mars entre les 2 lieux, on calcul la parallaxe à l’aide de la formule $\cos p = \sin\delta_1\sin \delta_2 + \cos \delta_1 \cos \delta_2\cos(\alpha_1-\alpha_2)$ , ce qui donne $p= 12.95''$ .
Estimons maintenant la distance Terre-Mars. Pour calculer le vecteur $v_m$ , on utilise les coordonnées de Mars à Paris : $v_m=(\cos\delta\cos\alpha,\cos\delta\sin\alpha, \sin\delta) = (-0.642,0.668,0.375)$ .

(Manque le temps sideral à greenwich, j’ai utilisé un raccourci)
On calcule de même $v_1=(-0.427, 0.500,0.753)$ et $v_2=(0.249, 0.964, 0.086)$ , d’où l’on déduit
$|| v_m\wedge(v_1-v_2)||=0.98$
Utilisant 6378km comme rayon terrestre, on trouve
$D=100 451 000km$
ce qui est très proche de la valeur prévue lors de la prochaine opposition (99 millions de km).

Théorie de la Parallaxe

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